複素数階微分の新しい定義と、接続球から分離球へ、分離球から接続球への連続的変換の数理モデル

0.参考文献

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1.復習[1][2][3][4]

1.1スライムの分離及び合成の数理モデル

一つの長半球について、外力ゼロの時、実球と呼ばれる状態になります。パラメータは次のようになります。

この状態から、z方向に外力がかかったとします。この時、分離する直前までは接続球と呼ばれる状態となります。パラメータは次のようになります。

さらにz方向に外力がかかったとします。すると、分離球と呼ばれる状態となります。パラメータは次のようになります。

1.2実球と接続球、分離球への変換

実球のパラメータを(r,θ,φ)とします。接続球は、x,yは(r,θ,iφ)、zは(ir,θ,iφ)をパラメータとする実球です。分離球は、接続球のパラメータに対し、φで1階微分することで得られます。逆に、接続球のパラメータに対して、φで1階微分することで、分離球のパラメータを得られます。

1.3微分の階数を工夫する

φで1階微分すれば、分離球から接続球へ、接続球から分離球へ変換することができます。接続球の臨界状態から分離球までの連続的な変換は、微分する階数を実数にすれば良いと言うことがわかります。

実数階微分、すなわちRiemann-Liouville微分により、次のようになります。

そのため、接続球から分離球へ、分離球から接続球へ、u=[0,t*](sec)だけ変換の際に時間がかかったとした時、無次元時刻t=u/t*を定義することにより、t階微分を、tを分数とする領域で計算することができます。結果は次のようになりました。

1.4問題点

Riemann-Liouville微分により、一応定義することができました。しかし、Γ関数が存在することにより、またφの実数乗が存在することにより、計算が難しくなると言う難点があります。すなわち、数値実験によるモデルを計算しにくいと言う問題があるわけです。

1.5実数乗のテイラー展開

pを実数と仮定した時、x^pは次のようになります。

注) 実は、pを複素数と仮定しても、全く同様に考えることができます。

注) k=0の時は、1と考えて構いません。

2.微分演算子に対する実数乗(複素数乗)、すなわち実数(複素数)階微分の新しい定義

2.1 定義

1.5の結果から、次のように考えることができます。

pは実数、あるいは複素数としても、この計算方法であればwell-definedとなります。

2.2 簡単な例

e^xを考えると、xの自然数階微分に対して、恒等変換となります。では、実数についてはどうでしょうか？計算してみます。

ここで、k=0の時は1に、それ以外は0となりますから、この式が成り立つわけです。

e^(ax)を考えた場合はどうなるでしょうか？計算してみます。

特に、a=-1を考えると、次のように整理できます。

3.分離球から接続球、接続球から分離球への変換

無次元時刻t=u/t*を定義しました。実数無次元時刻tで微分することを考えました。

さて、2章でexp(x)とexp(-x)の実数(複素数)階微分を考えました。これらをうまく使うことで、次のようになります。

この計算には、肩につく数は全て整数となるため、Riemann-Liouville微分で得られた結果と比較してかなり計算しやすいと言う利点があります。

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