エルデス・シュトラウスの予想に対する考察(Part4)
- S Y
- 2022年1月16日
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更新日：2022年1月20日
0.参考文献
1.操作方程式
操作方程式は、簡単に言えば、数学的帰納法を、より複雑なものに対しても解けるように強化したものです。
数qに対する操作(関数)f(q)とg(q)の結果が同じとなるように補正項ε(q)を与えて以下の操作方程式を成立させるとします。
特に、任意の数qに対してε(q)=0を満たすとき、操作f(q)とg(q)は同値となります。
例えば、qまでの和を求める関数を考える時、自明なfと、予想されるgが存在して、以下の操作方程式を考えることができます。
この時、以下の方法で操作方程式を解くことができます。
以上から、任意のqに対して操作fと操作qが同値となることが示せました。
2.予想の自明解
予想の性質上、Xが素数である場合の数(a,b,c)についてのみ考えたら良いです。以上の2つの式では説明できないものは、24s+1型素数とそれらのみを素因数としてもつ合成数のみとなりました。よって、24s+1型素数に解が存在することを示せば、エルデス・シュトラウス予想が正しいことを証明できた、と言えます。
3.自明解の簡単な導出方法
4.24s+1型素数の場合にエルデス・シュトラウス予想が正しいことの証明
実は因数分解の性質上、24s+1型素数の奇数倍について自明解を与える方法はなさそうです。そこで、操作方程式を導入して考察します。
操作fを、
とします。この操作は明らかに、任意の数q=24s+1に対してf(q)=4を返します。一方、操作gを、
とします。この2つの操作f,qが任意の数q=24s+1に対して補正項ε(q)=0を成り立たせることを示したいと思います。
まず、1行目から2行目にかけて、操作方程式を具体的に書き出しました。次に、両辺をqで割りましたが、この時にmod(2q)を用い、1/q→qと書き換えました。
xy+yz+zx=(1-x)(1-y)(1-z)-1+xyzを用いて書き換えました。また、q=24s+1を代入して、6sでわれるようにしました。
両辺をxyzで割ることで、左辺に4が現れました。もともと、fとgは任意の数qに対して4に変換する操作を意図しているので当然ですね。ここで右辺に注目すると、q=24s+1に依らないx,y,zが現れます。しかもいくつか(x,y,z)の解を与えることができ、例えばx=y=1, z=1/2とすれば満足することがわかります。
以上から、24s+1型の素数(あるいはそのような素数のみによる合成数)について、エルデス・シュトラウス予想が正しいことがわかりました。
5.結論
エルデス・シュトラウス予想は、任意の自然数に対して正しい。
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