エルデス・シュトラウスの予想に対する考察(Part1)

0. 参考文献

[1]https://picolinateu.hatenablog.com/entry/2016/09/13/132916

エルデスシュトラウスの予想1(場合分け法) - 中高生にもわかりやすい数学

1 エルデス・シュトラウスの予想とは

次の命題が真であろうことが、エルデス・シュトラウスの予想です。[1]

この命題を発展させた、次の命題が真であろうと予想をしてみました。(予想2)

2 m=3のとき

n=2,3,あるいは6s-1型素数とそれらの倍数、または6s+1型素数の偶数倍であるとき、予想2は正しいです。(6s+1型素数の奇数倍の時をのぞいて予想2は正しいです。)

2.1 n=2,3のとき

以下のように定めることで成立します。

2.2 そのほかの場合

x_i にaが含まれているとして、もう一方の数を考えましょう。

通分すれば分子は1になることより、分子は分母の約数であるから、自然数tを用いて以下のような関係になります。

aについて解きます。

nで約分することを考えて、tがnの倍数であると仮定し、t=nuとおけば、

さらに、a=uと仮定し、u(=a)について解きます。

ここで仮に、n=6s-1とおけば、u=a=2sに、一方n=2(6s+1)とおけば、u=a=4s+1になります。

以上から、n=2,3,あるいは6s-1型素数とそれらの倍数、または6s+1型素数の偶数倍であるとき、予想2は正しいことがわかりました。(6s+1型素数の奇数倍の時をのぞいて予想2は正しいです。)

3 m>=3のとき(nが6s+1型素数の奇数倍であることを除く)

両辺に1/nを(m-3)回加えることで、予想2を成り立たせることができます。

続く。

4 本日のオリンピック

ソフトボール

優勝しましたね！初回のピンチをうまく凌いだことで、良い流れが日本側に来たのだと思います！

テニス

女子

惜しかったですね。第2ゲームをなんとかとり、そこから流れを作って欲しかったです。

男子

2R勝利おめでとうございます！がんばってください！

サーフィン

男女ともに、メダル獲得おめでとうございます！

サッカー女子

1次リーグ突破おめでとうございます！

3 on 3

久しぶりにラウンドワン行きたくなりました。みていて非常に面白かったですし、数理物理での考察をいつかしたくなりました！