数とは何か？〜足し算と掛け算の関係式〜
- S Y
- 2022年9月27日
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0.参考文献
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1.ABC予想[1][2]
ABC予想についての説明は、参考資料[2]で私が以前詳しく説明しました。さらに簡単かつ、面白くまとめてある動画は[1]を見てください。
簡単にABC予想を説明すると、以下の式で表せます。
左辺は、互いに素なa,bの和について、右辺はそれらの積についての性質を表しています。そもそも数は足し算と掛け算の両方の性質を持っているため、本来分離することは困難ですが、もし分離できたとしたら、このような式で、それぞれの性質の関係式を与えられるだろうと主張しているわけです。
私は参考資料[2]では、実はトーシェント関数を使うことでこの予想を書き換えることができると主張しました。トーシェント関数は数の素因数分解の性質を意味しています。このトーシェント関数を作用したa,b,a+bという数字について、その和、および商を考えることで、ある正数で制限を与えられることを主張しています。式は以下の通りです。(c=a+b)
特に、強いABC予想とは、任意の自然数a,bに対してこの式が、ε>=1の場合に成り立つことを主張しています。
2.エネルギーを何らかの数と捉える話[3]
前回の記事(参考文献3)において、ブラックホールをなす直前の2つの星からなる連星系を考え、それぞれの星の静止エネルギーe_1とe_2について、以下の式が成り立つことを示しました。
この式をもとに、前回の記事では、サイクル論における行列として静止エネルギーe_1とe_2を捉えることができることを示しました。
であれば、行列は当然、1*1の場合も考えることができるわけですから、これは数であると捉えて良いということになります。
だから、エネルギーを何らかの数と捉える話が成立するのです。
万有引力定数や光速などは定数ですから、スケーリングの話であると捉えたら、次のように一般形を提示できます。
この式をもとに、数としてのe_1とe_2の正体を考えます。
ただし、左辺は足し算の性質を、右辺は掛け算の性質を意味しています。どうやら、掛け算の結果を時間微分することにより、足し算の結果が得られるようです。
3.固有時の導入[4][5]
アインシュタインは、時空の各点に時計を置くことを考えました。今、時空はある意味でスライム(レオロジー)として捉えることができることを踏まえると、自然な考えです。これらの時計の刻む時刻を、固有時と呼び、τと表します。(今までの時間の概念tとは別のものです。)
特殊相対性理論において、ローレンツ変換の係数γを考えるとき、次の関係式が成り立つことがわかっています。
この結果をもとに、数e_1の時刻t_1と固有時の関係、および数e_2の時刻t_2と固有時の関係は次のように表せます。
もしγが時刻によらないのなら、p_1, p_2はγ_1, γ_2と考えても良いかもしれません。しかし、それは物体が等速直線運動をしている場合にのみ成り立つものです。より普遍的には、やはりスライムの性質、すなわち一般相対性理論を考えなくてはならず、その時は、p_1, p_2はγ_1, γ_2と考えるのはまずいです。ですから、とりあえずp_1, p_2と置くこととします。
さらに、数e_1とe_2について、自然対数eを用いて次のように表すこととします。
この時、次のように計算できるでしょう。
また、時間微分d/dtの項は、物理的に考えたら、ブラックホールにある時空の特異点にある固有時dτを使って、d/dτであればより妥当であるとします。
よって、次の式を考えることができるでしょう。
4.数とは何か？
ここで、定義から次のように考えることができます。
ここに、変数に注目してもしx_1とx_2が互いに素である場合、この計算については互いに干渉しないこととなります。(積で何らかの関与をしない)。すると、次のように考えます。
両辺の差を考えます。
すると、結局次の方程式を解いていることとなります。
これを解くと、次の解を得ます。
すなわち、次のようになります。(1/x*lnxが出てくるのは不思議ですね)
よって、数eについては、次のように考えることができます。
これを定数倍しても、スケールの違いでしかないので次のように考えることができるでしょう。
ここに、同じ系を考えているので積分定数は一致し、しかも(偶然)、光速であるとするならば、以上のように、一次の固有時および座標で表せることに気づきます。
つまり、数とは、固有時と、その座標の持つ固有ベクトルの差であることがわかりました。
次元は[s]なのです！
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