ABC予想とトーシェント関数の関係

0.参考文献

[1]https://ja.wikipedia.org/wiki/ABC予想　

[2]https://ja.wikipedia.org/wiki/オイラーのφ関数

1.トーシェント関数

自然数に対して、一意に素因数分解を与えることができます。

こうして与えた素因数を用いて、次のトーシェント関数を定義します。

こうすると、自然数nと互いに素なn以下の自然数の個数が求まります。

ところで、定義式から、次のように書くことも可能です。

2.強いABC予想

任意の自然数aとbに対して、次の性質が成り立つと予想されます。

弱いABC予想は、望月定理として知られていますが、不等式の右辺において指数部分が2ではなく1+εの場合でした。しかも、その場合は"ほとんどの場合において"という条件つきでした。

今回は、εの大きさについての不等式を考えます。

3.トーシェント関数を用いた弱いABC予想の表記

c=a+bを導入して考えていきます。トーシェント関数を用いて、次のようにABC予想の式は変形できます。

ここで、1/{A(A-1)}=1/(A-1)-1/Aを用いると、次のように変形できます。

結局、自然対数を用いることで、予想を成立させるための下限を与えることができます。

この下限が1より小さいことを証明することこそ、強いABC予想を証明することとなるのです。