y=cosh(axcos(bxy))の停留点を求める
- S Y
- 2022年6月23日
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1.停留点の定義
一言で言えば、y=f(x)に対してdy/dx=0を満たす座標(x,y)のことです。今回は、y=cosh(axcos(bxy)についての停留点を求めます。
2.ほとんど明らかな停留点
まず、自明な停留点を求めます。
合成関数であることに注意すれば、容易に以下の微分値を得ます。
ここで特に、停留点を求めたいので右辺第3項が消去できますので、次のようになります。
特にsinh関数は実数の範囲に零点をただ一つ持つことから、次の式が成り立ちます。
ここからまず、(x,y)=(0,1)が停留点であることがわかります。
また、cosの零点はπ/2の整数倍(ただし0を除く)であることから、次の式が成り立ちます。
これをy=cosh(ax*cos(bxy))に代入すると、(x,y)=(πk/(2b),1)であることがわかります。
3.ちょっと難解な停留点
sinh関数以外のところについて、0となる場合を考えます。
a≠0であるから約分すると、見覚えのある形になります。
[2]で解説したように、bxy=γとすれば、γについて以下の結果はどうやら正しそうであることがわかっています。
ともかく、このようなγを用いて整理すると、γを用いてxとyをパラメータ表示することができます。
以上が全てです。
3.物理的解釈
そもそも、y=cosh(ax*cos(bxy))は乱流状態にある粒子集合の、進行方向とは異なる方向の速度(角速度)の大きさを意味するものでした。この角速度がある一定値を超すと、粒子集合は剛体の回転と同様に、テニスラケットの原理から回転します。結果として、乱流特有の渦が生じます。
特に今回の結果から、うまく物理パラメータa,bを求めることができれば、乱流解析が容易にできるようになることがわかります。
ここで、aは粘性係数と密度といった、物性のパラメータ、bは代表速度と代表長さといった幾何的なパラメータであるとすれば、これはレイノルズ数と関係があることがわかります。Re=(a,b)。このことは、aとbを用いた今回の式に対してレイノルズ数の大きさの十分性が必要なことから、自然に生じたものと考えられます。
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