乱流解析に関する予想(テニスラケットの原理を使用)

0.参考文献

[1]https://ja.wikipedia.org/wiki/テニスラケットの定理 テニスラケットの定理　最終アクセス日：2021/11/22

[2]https://ja.wikipedia.org/wiki/オイラーの運動方程式 オイラーの運動方程式　最終アクセス日：2021/11/22

1.テニスラケットの原理[0][1]

オイラーの運動方程式は以下の通りです。

L: 剛体に固定された座標系における角運動量

ω：剛体の角速度ベクトル

N: トルク

ただし、三軸(x,y,z系など)を想定しています。

ここで、トルクN=0であることを考えると、以下のように変形できます。

さらに、I_0>I_1>I>2であるとします。

さて、I_0の周りの回転を考えます。この時、ω_0の時間変化は無視して良いとします。

すると、うまく連立微分方程式を解くことで、ω_1に関する方程式を得ることができます。

これを解くと、

周期関数になることがわかります。以上から、ω_1は振動し、値は有界であるため、I_1軸周りの回転は安定します。同様にしてω_2についても振動し、I_2軸周りの回転は安定します。

ところで、I_1について同様に考えてみます。

この解は有界ではありません。そのため単調増加関数となります。すると、ある程度エネルギーが貯まると、十分回転できる程度になり、回転します。すなわち、I_0軸周りの回転は不安定となります。そのため、他の軸のわずかな揺らぎが、物体をひっくり返します。

2. xyz空間での分子の、テニスラケットの原理による振る舞い

分子(質量M)の集団がベクトルV'で加速しながら、x軸方向に、層流で流れていることを考えます。

もしこの層流から渦ができた場合、渦を発生させるための運動エネルギーを(MV^2)/2 (つまり、残りの運動エネルギー、(MV'^2)/2-(MV^2)/2 で並進運動を続ける)とします。この時の角速度を、軸ごとにω_x, ω_y, ω_zとすれば、以下の関係式を満たします。

元は層流で流れているので、トルクは0ですから、テニスラケットの原理を応用することができます。

今回の場合、初期条件からI_x>I_y≒I>z, (I_y>I_z)とします。すると、I_x周りの回転は不安定となります。

1章で示したように、角速度を与えられますが、特にω_xについて、ω_xだけで表します。

まずは、

であり、かつ

となります。二つ目の式を一つ目の式に代入することにより、ω_xだけで、ω_xについて表します。

ここで次の条件を与えます。

この仮定は、時間反転対称性が成り立つとし、かつ議論を実部のみに限定した場合と同値にするためです。

簡単に表記するため、以下のように置きます。

以上から、ω_xについて以下のように表せます。

間違いでした。(2022/6/19/23:41追記)　ω_x=Acosh(at*cos(Bbω_xt))となります。

図2.1　横軸：時間t、縦軸：角速度ω_xのグラフ(Geogebra)

3. 虚数時間説

この世界の時間が、実は虚数の値を取ると仮定します。この時、以下の関係式を用いてω_xを書き換えることができます。

これを用いると、

図3.1 横軸：時間t、縦軸：角速度ω_xのグラフ(Geogebra)

このようになります。

この図は、ある一つの粒子の角速度の推移を表しています。一方、等速uで粒子がx軸方向へ流れていると仮定すれば、次の速度分布を与えられます。

このグラフは図3.1と相似になります。