γtan(γ)=1を満たす数に対する考察

0.参考文献

なし

1.以下の問いに答えよ

γtan(γ)=1を満たす数を、整数kを用いて表せ。

2.解法

次のように連立方程式として解くことにします。

余談ですが、γ_2はオイラー座屈で見たことがある式ですね。

両辺をかけて整理することで次の結果を得ます。

追記(6/20 17:41) 1になると仮定しました

かけたので、今度は引きたくなりますね。偶然にも、最右辺も「引け」と言っているかのような形をしています。

以上から、次の連立方程式に変換されました。

結局、二次方程式を考えることと同じになり、それぞれ次のように表せます。

実際の計算値は以下のとおりです。

3.wolfram alphaの計算結果

以下に、計算結果(数値解)を与えます。

x*tan(x)の結果です。

なぜか、算出結果の半分の値に近いです。そこで、計算値を半分にしてみました。

確かに、近い値を得ます。

4.比較・考察

では、本当にγtan(γ)=1を満たすのでしょうか？同様にγ=tan(γ)を満たすのでしょうか？

確認してみます。表では、1に近いほど正確であることを意味しています。特に(恣意的に)1に近いと判断したものに対して、黄色で塗りつぶしを行いました。

気づくことは以下のとおりです。

γtan(γ)=1について

・kが負であるとき、連立方程式の解(ルートの外が負)で与えられるものがより正確である。

・反対にkが正であるとき、連立方程式の解(ルートの外が正)で与えられるものを、2で割った値がより正確である。

・2で割らなかった場合は4に近い値をなぜかとる

γ=tan(γ)について

・kが正である場合、連立方程式の解(ルートの外が正と負のいずれも)について、これも、これを2で割ったものも、正確である。

・反対にkが負である場合、連立方程式の解(ルートの外が負)について、これを2で割ったもののみ、正確である。

特にk=0である場合は連立方程式の解(ルートの外が負)について、これを2で割ったもののみ、不正確である。

5.未解決問題

・どうして、このように精度の良さが(ほとんど)kの正負によって決定されるのでしょうか？[境界が0の付近にあるのはどうしてでしょうか？]

・連立方程式の解に対して、どうしてこの1/2倍に対しても、ある広い範囲で良い近似が成立するのでしょうか？

・一般に、2^n倍(nは整数)に対しても、ある広い範囲で良い近似が成立するのでしょうか？(実際、2倍でも良い近似が出ます。)

・ tangent自体の周期性と関連はあるのでしょうか？

・リーマン予想の非自明な零点の分布に何かしらの関係性がありそうです。どうでしょうか？