黄金比を無限級数で求める

0.参考文献

[1]

https://isiotoyume.wixsite.com/website/post/フィボナッチ数列の性質一覧-備忘録

[2]

https://manabitimes.jp/math/626

1.問題

この関数をテイラー展開し、黄金比について次の式が成立することを示せ。

2.m階微分

テイラー展開をすることを考えます。

ここで、φ-1=1/φ、φ^2=φ+1であることを用いました。

一般にm階微分は次のようになります。

特に、x=1回りで微分することを考えます。

特に、x=2のとき、次のようになります。

自然対数を用いて、次のようになります。

ところで、ニュートン・メルカトル級数を用いることにより、次のようになります。

以上から、次の結果を得ます。