隣り合う素数2つを手がかりに、次の素数を探索する方法について

0.参考文献

[1]

[2]

1.前回の復習[1]

前回、隣接する3つの素数を辺の長さにもつ三角形の共通点を調べました。

三角形の3つの角についてそれらの正接をとり、それらの和と積が一致する性質を用いて、テンソルの第一不変量および第三不変量が3√3に一致すること、さらに第二不変量が9となることを調べ、テンソルの固有値が約sqrt(3)の三重解となることを示しました。

ところで、逆にこの性質だけを用いて、隣り合う素数2つを手がかりに、次の素数をピタリと当てることはできるでしょうか？これを今回の記事で考えていきます。

2.数値実験

以下のサイトにて、検証しました。

↑このサイトにアクセスすることで、誰でも検証することができます。

B9、B10セルに、既知の隣り合う素数を入力します。

すると、B10セルを基準にそれ以降の奇数が入力され、前回の記事で示したK、L1、L2を計算し、第一不変量、第二不変量、第三不変量を計算します。

さらに、三次方程式の解の公式を用いて、列O、列U、列AAに3つの複素数解を計算しました。

列ABから列AGまでの6つの列は、複素数解のそれぞれの実部、虚部を示したものです。

前回の記事の「直感」に従えば、解の実部は列AHに書いたsqrt(3)と等しくなり、解の虚部は0となるはずです。そこで、3つの解について、それらの実解とsqrt(3)、虚数解と0との相対誤差の平均値を考えます。

すると、列AI、列AMに解が与えられます。その推移をグラフにしました。横軸は対数にしています。

さらに、このグラフの特徴は、候補p3におよそ比例して大きくなることですから、傾きは一定となるはずです。

そこで、傾きの推移についても同様にグラフにしました。これも横軸は対数にしています。

驚くべきこととして、傾きの変化が落ち着く地点が、実部、虚部共にほとんど一致することがあります。そのような点が1つの場合もあれば、複数ある場合もあります。

このような傾きの挙動が激しい区間には、次の素数があることがなぜか多いです。

このような方法で探索すれば、効率よく次の素数の目星をつけることができるだろうと考えます。

3.物理的解釈[2]

傾きが急激に変化し、落ち着いていく様は、Elberの疲労試験片の異常な弾性コンプライアンス変化の挙動に似ています。

この挙動の本質は、残留応力や、疲労亀裂の除荷前での閉口によるとされています。

この現象が、素数の分布にも何らかの形で生じているのだろうと考えます。

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