足し算的な性質により、素数表を作成してみた

0.参考文献

[1]https://isiotoyume.wixsite.com/website/post/フィボナッチ数列の性質一覧-備忘録

1.Nボナッチ数列についての一般化されたゼッケンドルフ=石音の定理について

復習です。Nボナッチ数列は、(N-2)個まで隣り合う数を使うことを許容すれば、任意の自然数を一意に和で表せます。

例えば、N→∞とした場合、この数列は2^m, m:自然数となります。

以下に例を示します。1~16までを示します。

1

2

3=1+2

4

5=4+1

6=4+2

7=4+2+1

8

9=8+1

10=8+2

11=8+2+1

12=8+4

13=8+4+1

14=8+4+2

15=8+4+2+1

16

2.M^m, M:奇数では、同様なことができないだろうか？

2.1 3^M、5^Mなどはどうだろう？

3^Mを考えます。

1,3,9,27,81,243,729,...

2=?

4=3+1

5=?

6=?

7=?

残念ながら、ほとんどの数に対して表せませんでした。

1,5,25,125,625,3125,...

2=?

3=?

4=?

6=5+1

7=?

こっちも、残念ながら、ほとんどの数に対して表せませんでした。

2.2 まとめて奇数の場合として捉えたらどうだろう？

Step1

1,2、および3^mを書きます。

Step 2

表にない自然数で最小である4を考えます。4=3+1であることは容易にわかります。こうして、1と3を「消費」します。

Step 3

5を作ることを考えます。すでに3と1を消費してしまっているので、残りは2,9,27,...となります。これらについて一度のみ使用して和で5を作り出すことはできません。そこでこれを新たな「構成数」とみなし、5^mを書きます。(新たな構成数が現れた場合、消費分は解放されます。)

同様にして、6=5+1, 7を追加, 8=7+1, 9=3^2, 1の異なるべきの和は用いないこととします。

Step 4

同様にして、6=5+1, 7を追加, 8=7+1, 9=3^2, 10=2+3+5, 11を追加, 12=11+1, 13を追加, 14=11+3, 15=13+2, 16=7+3^2, 17を追加, 18=17+1, 19を追加, 20=19+1, 21=5+3^2+7, 22=2+3+17, 23を追加、24=2^3+2^4、25=5^2、26=7+19、27=2+3+5+17、28=3^3+1、29を追加、…と作り出すことができます。

3.「構成数」は素数だろうか？

例えば、16について、14=13+1としてしまうと、15=3+5+7となるので、16が「構成数」となります。ところが16は2^4となるので、素数ではありません。

ですが、うまく和を考えることにより、確かに構成数は素数になるように思えます。

この証明が思い付いたら、また後日、記事を書きます。あるいはどなたかが証明してくださるでしょう。