足し算的な性質により、素数表を作成してみた
- S Y
- 2022年8月13日
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0.参考文献
1.Nボナッチ数列についての一般化されたゼッケンドルフ=石音の定理について
復習です。Nボナッチ数列は、(N-2)個まで隣り合う数を使うことを許容すれば、任意の自然数を一意に和で表せます。
例えば、N→∞とした場合、この数列は2^m, m:自然数となります。
以下に例を示します。1~16までを示します。
1
2
3=1+2
4
5=4+1
6=4+2
7=4+2+1
8
9=8+1
10=8+2
11=8+2+1
12=8+4
13=8+4+1
14=8+4+2
15=8+4+2+1
16
2.M^m, M:奇数では、同様なことができないだろうか？
2.1 3^M、5^Mなどはどうだろう？
3^Mを考えます。
1,3,9,27,81,243,729,...
2=?
4=3+1
5=?
6=?
7=?
残念ながら、ほとんどの数に対して表せませんでした。
1,5,25,125,625,3125,...
2=?
3=?
4=?
6=5+1
7=?
こっちも、残念ながら、ほとんどの数に対して表せませんでした。
2.2 まとめて奇数の場合として捉えたらどうだろう？
Step1
1,2、および3^mを書きます。
Step 2
表にない自然数で最小である4を考えます。4=3+1であることは容易にわかります。こうして、1と3を「消費」します。
Step 3
5を作ることを考えます。すでに3と1を消費してしまっているので、残りは2,9,27,...となります。これらについて一度のみ使用して和で5を作り出すことはできません。そこでこれを新たな「構成数」とみなし、5^mを書きます。(新たな構成数が現れた場合、消費分は解放されます。)
同様にして、6=5+1, 7を追加, 8=7+1, 9=3^2, 1の異なるべきの和は用いないこととします。
Step 4
同様にして、6=5+1, 7を追加, 8=7+1, 9=3^2, 10=2+3+5, 11を追加, 12=11+1, 13を追加, 14=11+3, 15=13+2, 16=7+3^2, 17を追加, 18=17+1, 19を追加, 20=19+1, 21=5+3^2+7, 22=2+3+17, 23を追加、24=2^3+2^4、25=5^2、26=7+19、27=2+3+5+17、28=3^3+1、29を追加、…と作り出すことができます。
3.「構成数」は素数だろうか？
例えば、16について、14=13+1としてしまうと、15=3+5+7となるので、16が「構成数」となります。ところが16は2^4となるので、素数ではありません。
ですが、うまく和を考えることにより、確かに構成数は素数になるように思えます。
この証明が思い付いたら、また後日、記事を書きます。あるいはどなたかが証明してくださるでしょう。
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