素数の、隣接4項間関係式についての考察

0.参考文献

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1.復習

素数の近似漸化式として、次の式を考えました。

式の通り、近似値を算出するものであるため、この誤差について考える必要があります。

次のような割合で考えました。

この時、左辺についてのグラフの推移が1に対してどのようになっているのかを調べました。

ちなみに、横軸は p(n+3)=7 を1番目とした時の何番目の素数か、にあたります。

図1 1にどう近似するか?

このグラフから、どうやらただしそうであることがわかります。

しかし、具体的に小さな値を評価するにはこのグラフでは難しいです。

そこで、まずは角度の情報を用いて考えることとします。

2.対数を用いた評価

arctangentを用いて、無次元化した量について角度の情報として考えます。

さらに、それでも今回の予想がかなり正しそうなので、対数を用いて評価することとします。

すなわち、次の式で評価することとします。

すると、次の結果を得ました。(ただし、lnの中身が0の時は、f(n)=0と定義しました。)

図2 f(n)の推移

横軸にピッタリ乗っかっているものが、予想が正しい場合のものです。ここは一旦無視します。

うまく成立しない、f(n)≠0の点についての振る舞いが、とても面白いことに気づきます。

どうやら、arctangentや、error function に近い形状をしていることに気づきます。(注: 実際に計算すれば、arctangentに対して、0.6倍程度すれば、error functionとなることがわかります。)

そこで、次の評価を考えます。

この時の、振幅A(n)について、数値計算により推移を求めます。

図3 振幅A(n)の推移 arctangentと比較

要素数に対して、A(n)の推移が非常に遅いことが特徴です。

結果を見ればわかるように、あまりerror functionが関係したとは考えられません。

仮定を見直して、ln(n)とすることとします。-A(n)*ln(n)とします。

これをもとに、A(n)について解きました。

なんと、値が1から1.5の範囲で収束するか、予想が完全に正しいかの2つにわけることができました。(A(n)=2などの例外は高々有限個しかないことがわかりました)。

3.素数の近似漸化式

2章で得た結果に対して、p(n+3)について解くことを考えたら、素数の近似漸化式を得ることとなります。

ここに、tangentの加法定理、及びsinとcosの倍角の公式を用いることにより、最終的に次の結果を得ます。

ただし、この結果はあくまで近似なので、ある3つの連続する正しい素数が与えられたとき、次の素数が大体どのくらいなのかを示すものです。

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