素数の近似的漸化式

0.参考文献

なし

1.素数の近似的漸化式

任意のn+3番目の素数に対して、次の関係式が近似的に成り立つことが予想されます。(以前何処かで書いたと思ってましたが、このブログには載せてなかったようです。)

すなわち、前の3項について、最小値にマイナスをかけた上で全部足せば、そこから、ある正数で抑えられる範囲に、次の素数が存在するだろうとする予想のことです。

一見、フィボナッチ数に類似しているようにも見えます。

2.統計データ

そこで、統計データを取ることにしました。すなわち、相対誤差を%で示すことにしました。式は以下の通りです。本来の相対誤差の定義と異なり、今回は値が負でも良いこととします。その方が、より大小関係について考察できるからです。

nの小さいとき、p_(n+3)によっては絶対値が5%を超える場合が多々ありました。以下の通りです。

これ以降について、すなわち139から11311までについて、相対誤差をグラフに示しました。

このグラフから、相対誤差がnの増加とともに減少することがわかります。

この数値実験結果から、予想は正しいだろうことがわかります。