フィボナッチ数から2を引いた数による自然数の幾何級数表示

0. はじめに

以前、フィボナッチ数から1を引いた数による自然数の幾何級数表示(https://isiotoyume.wixsite.com/website/post/コラッツ予想の証明に関する概説)を説明しました。今回は、フィボナッチ数から2を引いた数による自然数の幾何級数表示について紹介します。

1.復習

フィボナッチ数から1を引いた数は次のように、自然数を一意に示せます。

(1) 5=7-2

(2) 79=88-(12-(4-1))

2.今回新たに発見したこと

フィボナッチ数から2を引いた数は次のように、自然数を一意に示せます。

(1) 5=6-1

(2) 79=87-(11-3)

3. 自然数の幾何級数表示

4. フィボナッチ数からnを引いた数について

フィボナッチ数の負数番目について、その絶対値は、正数番目での値に等しくなります。また、奇数番目の数は負に、偶数番目の数は正になります。

このことを用いると、おそらく任意の自然数nについて、フィボナッチ数からnを引いた数で任意の自然数を表せるはずです。

この時、ゼッケンドルフの定理のように、足し算により実現する場合(n=0,3,4,...)と、紹介したように、引き算により実現する場合(n=1,2,...)に分類することができるようです。

この違いはどこからくるのでしょうかね？

©︎2021 Yume Isioto