隣りあわないフィボナッチ数から1を引いた数を用いた、自然数の無限等比級数表示

更新日：2021年12月18日

1. 現在わかっていること　

ゼッケンドルフの定理から、隣りあわないフィボナッチ数の和で自然数を一意に表せることがわかっています。

ユークリッドとガウスのおかげで、素数の積で自然数を一意に表せることがわかっています。

ウィルソンの定理を見れば、Γ(n) (nは自然数)は、Γ(p) (pは素数)の分数で一意に表せることがわかります。

2. 今回明らかにしたこと

・隣りあわないフィボナッチ数から1を引いた数は、ゼッケンドルフの定理と同様に自然数を和で一意に表せること

・自然数を無限等比級数を用いて表したこと

以下の思考から、思いつきました。

Γ(p) は(p-1)!である。

→フィボナッチ数は和の世界だけで作れるから掛け算は使わないだろう(※1)

→フィボナッチ数fに対してf-1も、自然数の和の分解について一意性があるのでは？

→実際に調べてみた

→できた。(3章に続く)

→逆数を考えたら、無限等比級数の形に似ていることに気づく

→自然数を無限等比級数を用いて表せた。(4章に続く)

(※1 尤も、任意のフィボナッチ数の二乗は前後のフィボナッチ数の積に近い(1だけ多かったり、少なかったりする)という性質はある。一般項もn乗が入る。しかし、それを知らなくても漸化式があれば作れる。)

3. やり方

1) 18, 2) 50 3) 712について考える

Step 1 考えている数以上の、フィボナッチ数から1を引いた数のうち、最小のものを選んでくる

1) 20 2) 52 3) 986

Step 2 Step1で求めた数と、考えている数の差の絶対値を考える

1) 2 2) 2 3) 274

Step 3 Step 1とStep2を繰り返す。Step2で0になったら終了。

結果

1) 18 = 20-2

2) 50 = 52-2

3) 712 = 986-(376-(143-(54-(20-7)))))

4. 無限等比級数

以下の画像に、1/5と1/57を分解方法を示しました。みなさんも、他の数で考えてみてください。

5.コメント

1/(n-1)=Σ(k=1→∞)(1/n)^kであるから、結局、隣りあわないフィボナッチ数になおすことができます。