素数と円周率、ネイピア数の関係式を成り立たせる定数cの近似

0 参考文献

[1] https://youtu.be/gKhR5yeiCqw 「6. 円周率の日記念」

[2]http://cosmos.art.coocan.jp/cf/cf24.htm 「数値の連分数展開例」

[3]https://arxiv.org/pdf/math/0506319.pdf 「DOUBLE INTEGRALS AND INFINITE PRODUCTS FOR SOME CLASSICAL CONSTANTS VIA ANALYTIC CONTINUATIONS OF LERCH’S TRANSCENDENT」JESU ́S GUILLERA AND JONATHAN SONDOW

1 動画の紹介

以前アップロードした動画[1]で、円周率と素数の間には次の関係にあるだろうことが紹介されています。

2 数値計算結果

また、定数cは、およそ2.00390625であろうことが数値実験でわかりました。この時、相対誤差は0.00799435%であることもわかりました。

3 ウィリアム・ブラウンカーの公式からの考察

また、ウィリアム・ブラウンカーの公式[2]を用いて、π/4を連分数展開することができますから、ネイピア数を、定数c、素数p、自然数を用いて以下のように表せることがわかります。

しかし一体、どのようにして定数cを定めたら良いのでしょうか？

4 Guillera-Sondowのネイピア数関数表示

さらに以下の、Guillera-Sondowのネイピア数関数表示[3]があります。

よって、nについての無限積で等しくなることから、以下の関係式が成立します。

注意すべきはcについて、nについての無限積である時のみ等号が成立し、有限積であれば近似値をとることです。

ここでp_nは、n番目の素数を意味します。

5 cの性質に対する考察

cは明らかに無理数です。しかし、超越数であるかは不明です。