磁気バネのバネ定数に対する接続性についての考察

0. 参考文献

[1] https://www.jstage.jst.go.jp/article/trbane/2003/48/2003_48_39/_pdf/-char/ja 「磁気バネを利用した振動絶縁メカニズムとその応用」

※以前(2021年7月下旬)、課題の考察で指摘したものに同じ。

[2] DMM.makeのサイトへのURLを後に貼ります。

(2021年8月25日21:32更新　

磁気バネ定数測定装置・下.stl - DMM.make クリエイターズマーケット https://make.dmm.com/item/1347763/)

[3] https://ryebourbon.xsrv.jp/spring-gousei/　合成ばね定数とは？ばねの直列・並列の扱い方を教えます！

1.磁気バネのバネ定数について

参考文献[1]によると、磁気バネの荷重特性を示す式は以下の通りだそうです。

(式1.1)

2. バネ定数測定器とその使い方について

以下のバネ定数測定器を3Dプリンタで製作しました。現在は未公開ですが、後にDMM.makeで測定器の販売をいたします。こちらの商品、物理学において重要な定理(後述)によれば、バネ定数を決定するための必需品です！

図のように2つの磁石を反発させ、台を浮かせられます。この台はある荷重を与えると、決まった距離だけ近づくという性質があります。その性質を表したのが、式(1.1)になります。

使い方

まず、異なる2つの荷重をかけるために、台に乗せられるようなサイズの小物(例えば筆記用具など)を用意します。

次に、それらの質量を電子ばかりなどで測定します。こちらは、例えば台所にあるような、塩・砂糖などの質量を計測するもので良いです。

では、荷重をかけていきます。異なる質量に対して異なる変位を取ることがわかるでしょう。変化した2つの変位を計測しておきましょう。(例えば、画像のpxなどから計測すると良いでしょう。)

3.データ整理方法

荷重1と荷重2に対して、それぞれ以下の式(3.1), 式(3.2)が成り立ちます。ここで、m_1, m_2は荷重1と荷重2の質量計測結果を、gは重力加速度9.81を、x_1, x_2は荷重1と荷重2をそれぞれかけた時の変位を表しています。

以上の連立方程式を解くことで、未知数k_1, k_3を求められます。ちなみに、このような連立方程式を解く場合は、コンピュータを使うのがおすすめです。驚くほど一瞬でできます。

4. 変位をバネ定数について解いてみる

高校物理などで、直列接続や並列接続をする際、(変位)=(バネ定数の関数)と直して考えるとわかりやすいと学びました。僕みたいにすっかり忘れている方は、ぜひ参考文献[3]をご覧ください。僕もこちらを拝見させていただき、おかげさまでこちらをかけております。

式(3.1)と式(3.2)の恐ろしいことは、xについての3次方程式であるということです。これをとくと、次のようになります。ただし、xは実数です。(i=1,2)

以上の結果から驚くべき事実が発覚します！

「仮に、直列接続した磁気バネの振る舞いが、ある別のバネ定数を持つ磁気バネと一致するとしても、そのバネ定数は2種類あるため、それぞれのバネ定数を、接続前の別の元の磁気バネのバネ定数から定めることはできない。」(定理4.1)

つまり直列接続された磁気バネのバネ定数は、実験値が無ければ決定できないということになります。

ですから、バネ定数測定装置は有用なのです。