微小複素領域εsにおけるζ関数の零点はどこにあるか？

0.参考文献

1.微小複素領域におけるζ関数の表示方法

初めに、複素領域におけるゼータ関数を示します。

sの代わりにεsを代入すると、次のようになります。同時に、Γ関数も変化します。

ところで、双対数εを用いたことで、次のように変形することが可能です。

ここで、uが0→∞ならば、εvはε→1/(ε^3)と動くことを用いました。私の公式をうまく使うことで、積分形でなく表すことができます。

Γ関数においても同様に考えます。今回はtが0→∞ならば、εkはε→1/(ε^3)と動くことを用いました。

以上から、ゼータ関数は次のように変形できます。

2.微小複素領域におけるζ関数の零点

では、ゼータ関数の零点となるsを求めていきます。

容易に求まるのは、次の点です。

第一項の分子が0になれば良いので、容易に求まります。

また、第二項(逆数となっているところ)においては、これが±1/εとなっているとすれば、次のように求まります。(一応、定義上は±k/ε、kは0でない実数としても問題ないので、計算上、こうします。)

これをsの次数で揃えると、次のようになります。

この二次方程式を解けば、次のようになります。

座標系において、右手系と左手系の違いでしょうか、ζ(-εs)について考えてみます。(今まで考えていたsの方向を180度開店して考え直してみます)

仮にこの方法が正しいとして、巨視的に見ると、ε→0より次のようになります。(ルートの中身については近似の効果が薄れると考え、そのままにしてます。)

実は、lnε=-ln2-ε/2が交代級数を使うことで証明できますが、今回は省略します。

双対数が残っているので、できればここを処理したいのですが、ひとまずそのままにしておきましょう。

この結果が示している意味は、とても重要です。なぜなら、

リーマン予想

「ゼータ関数において非自明な零点を与える複素数値sの実部は、全て1/2だろう。」

これを証明しているのですから。

(もしかしたら、これまでに示したものも、-εsとすべきであったかもしれません。参考までに以下に記します。)

一方、実はあっていたのでは？と考察することもできます。ε→0と巨視的に見ると、ζ(∞)となります。実際、負の偶数について、lim(k→∞)ζ(-2k)=0と捉えることができます。

3.微小複素領域におけるζ関数の特異点

次に、ゼータ関数の特異点(値が無限大に発散する)となるsを求めていきます。

容易に求まるのは、次の点です。

結局、微小領域でも、特異点はただ一つしか存在しないこと、これが容易に求まることが確認できました。

4.感想

このブログを書き始めてちょうど今日で1周年です！

これまで記事を読んでくださった方々、ありがとうございます。

私事ですが、誕生日を記念して始めたブログなので、この「石音夢研究室」と同じ誕生日なんです！

誕生日を記念して何か面白いテーマを書きたいと思っていたのですが、今まで研究してきた双対数を使って、実はリーマン予想を(限定的ではありますが)、解決できるのでは？と思い、書いてみました。非常に感慨深い一日となりました。

まだ、私の(7番目に小さいフィボナッチ数)歳の誕生日は1時間53分しか経ってないのですが、大満足です。おやすみなさい！

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