多重連結な3次元閉多様体は、トーラスに逆変換可能か？(ポアンカレ予想の証明を含む)

証

トーラスを1回捻りのメビウスの輪の合成と捉えます。イメージ図は次のとおりです。(クラウンの壺ではない)

大円が2π回転するごとに、小円はπ回転するとします。

このことは結局、穴が平行関係、帯面が直交関係にある2組のメビウスの輪の合成と捉えることができます。

ところで、このようなメビウスの輪は、帯面を切断することで穴を2つに増やすことができます。同様にして任意の数の穴に増やせます。

穴をN個にそれぞれ増やした2組のメビウスの輪を再度合成すれば、N個のトーラスが多重連結したような三次元閉多様体となります。

以上の操作に対して反対に、切断したところを修復することを考えますと、穴の存在する三次元閉多様体は、トーラスに変換することが可能となります。

ちなみに、反対に、穴のない立体図形であれば、トーラスに逆変換することはできません。すなわち多重連結な立体図形に変換されません。

仮に、穴のない立体図形で多重連結な立体図形が存在すれば、今回の変換に対する恒等変換(変換をN回、逆変換をN回行うことと同値)が不可能となるので矛盾が生じます。

以上から、単連結な三次元閉多様体は3次元球面S^3に同相であります。これにより、ポアンカレ予想が正しいことを確かめられます。