双対数を行列化してみたら、ハイゼンベルクの不確定性原理っぽいのができた話
- S Y
- 2022年8月12日
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0.参考文献
1.双対数の定義
双対数の定義は、二乗したら0になる、0ではない実数のことです。これは、工学の世界でよくみられる、二次以上の項について無視することと同様です。
2.双対数と同値の2*2行列は何か? {{0, k},{0, 0}}とすれば、これは零行列ではありませんし、かつ二乗すれば零行列になります。よって、k=1とすれば正規化することができますので、{{0, 1},{0, 0}}が双対数と同値の行列となります。
2.1 二重数との関係[3]
二重数とは、二乗して初めて目的の数となる、それ自身が目的の数とは異なる数のことです。例えば、二乗して1になるj、二乗して-1になるi、二乗して0になるεがあります。
実は、これらは2*2正方行列であることがわかります。しかも、次のように行列として以下のような関係式にあります。
ε+(t^)ε=j
ε-(t^)ε=i
ここに、(t^A)はAの転置行列です。
3.一般の正方行列については？[1]
2章で出てきたものをよく見ると、ジョルダン標準形となっていることに気づくので、J(0:2)と表すことにしましょう。これの類推により、一般にN乗したら初めて零行列となる行列が、J(0,N)であることがわかります。一般のN次正方行列がわかりました。
4.N次双対行列
次のように定義します。
J(0,N+1)=ε_(N)
こうすると、N乗して初めて零行列となる、零行列とは異なる数ができます。
4.1 N次単位行列との関係式
以下の関係にあることが容
易にわかります。
ε_(k+1)*(t^)ε_(k+1)+(t^)ε_(k+1)*ε_(k+1)-(t^)ε_(k)*ε_(k)=E_(k+1)
4.2 N次単位行列が、ハイゼンベルクの不確定性原理と類似した性質となる話
ハイゼンベルクの不確定性原理とは、位置を表す数qと運動量を表す量pについて、以下の関係式が成り立つ法則のことです。ここでhはプランク定数です。
qp=pq+ih/(2π)
ところで、虚数単位行列について、次のように拡張します。
すなわち、2*2の虚数単位行列に対して、零行列を加える直和を用いて表し、N次単位行列を作ります。
一方、同様にして零行列に対して、2*2の虚数単位行列を加える直和をi_nバーとして表します。
この時、次の式が成立します。
単位行列を用いて、次のように整理できます。
(t^)ε_(n)*ε_nは1*1のみ0である単位行列に、ε_n*(t^)ε_(n)はn*nのみ0である単位行列になります。よって、hバーについて次のように考えることができます。
ここで、-iを両辺にかけることが、両辺をiで割ることと同値となるので、行います。
ただし先ほどとは異なり、今回は零行列に対して、任意の位置に虚数行列を加えることにより作ります。
パターン1)*の列について
(1,1)を除くいずれか一つに-1が、それ以外は0により構成された行列になり得ます。
パターン2)**の列について
(n,n)を除くいずれか一つに-1が、それ以外は0により構成された行列になり得ます。
パターン3)
零行列になり得ます。
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