三角関数の新しい級数展開に関する話

1.結論

正弦と余弦は、次のように級数展開することができます。

ただし、

です。

2.導出

cotθ-θという関数を考えます。これを正弦と余弦を用いた式に直し、テイラー展開します。それぞれの項を足すことで分子を級数で表現することに成功しました。

ここで右辺の分母にあるsinθを約分します。

θで微分します。

導関数ともとの関数を比較すれば、正弦と余弦についての連立方程式になっていることに気づきます。これらを整理すれば、1章で主張した結論を得られます。