フィボナッチ数列の三角関数(tangent)を用いた漸化式

0.参考文献

[1]https://manabitimes.jp/math/578

1.tangentの性質[1]

以下の関係式が成り立ちます。

2.漸化式

i番目のフィボナッチ数をa_iとしたとき、次の漸化式が成立します。

せっかくなので、円周率πをあと一つ使える次の同値な漸化式も書いておきます。

ただし、a_0=a_1=1。

これは、「任意の隣接する3つの素数を3辺とする三角形を、いつでもユークリッド平面に描けるだろう」とする、素数の間隔についての予想に対応します。p_iはi番目の素数を意味します。

例えば、長さがp_(n+2)である辺に対して垂線となり、かつ長さがp_(n)とp_(n+1)となる辺によって作られる角を通るように線を引いて考えた場合、以下の関係式を得ます。

ただし、この関係式は三角不等式と同値なので、三角不等式

p_n-p_(n+1)<p_(n+2)<p_n+p_(n+1)

を満たす任意の数列に対して成立します。ですから、素数の漸化式とはなりません。

一方、今回の漸化式は、一意にフィボナッチ数の漸化式となります。これを確認しましょう。

3.証明

tangentの性質について、都合が良いので、あえて次のように角度を決めます。

こうすれば、フィボナッチ数の定義漸化式、(a_n+a_(n+1)=a_(n+2))より、A+B+C=πとなります。そのため、次のように変形できます。

一方、反対方向の証明を考えます。

4.結論

三角関数(tangent)を用いてフィボナッチ数列は、3項間漸化式を与えることができます。また、このような3項間漸化式は初期値(a_0= a_1=1)を与えることで、フィボナッチ数列に必ず定まります。