フィボナッチ数を用いた自然数の新しい表現方法と、フィボナッチ素数について

1.予想

自然数は、次の3種類しか存在しないだろうと予想しました。

ただし、|k-l|≠1とします。

2.予想が成立するもの一覧(100まで)

以下に例を一つずつ記した。中には複数通りの表し方で予想通りの表し方となるものも存在します。

また、特に25については、

25=89-8*8

ですから、絶対値記号の下、他と同様に予想を成立させると言えましょう。

3.予想が成立しないもの一覧

予想の成立しないものもあります。2つに大別できます。

A: |k-l|=1を認めると、成立する数

B: すでに予想の成立する数に対して、フィボナッチ素数をかけるか、あるいはそのような成立している数が素数である場合に、非素数のフィボナッチ数をかけることで、目的の数となるような数(例: 88)

以下の表にまとめました。

4.素数に対する考察

素数に対してどのようなフィボナッチ素数で表せるのかを調べてみると、58以外の97まで素数は全て予想を成立させ、しかもいつでもフィボナッチ素数を少なくとも1つは含めることがわかります。

また、58についても、58=5・8+13より、やはりフィボナッチ素数を含んでいることがわかります。

以上から、次の予想を立てました。

予想：「ほとんどの素数は予想を満たし、少なくとも1つのフィボナッチ素数を用いて表される。また、予想の条件を緩和し、|k-l|=1を認めた場合、素数は常に予想を満たし、やはり少なくとも1つのフィボナッチ素数を用いて表される。」

この予想が正しいことが、フィボナッチ素数が無数に存在することの証明につながれば良いと思います。

5.計算して気づいたことあれこれ

実際に計算したところ、特筆すべき結果がいくつか見られたので紹介します。

5.1 方程式A

以上を満たす(x,y,z)は、(2,3,13)のみでしょうか？

ちなみに、gcm(x,y,z)=1を無視すれば、例えば(2,2,6)が考えられます。

5.2 方程式B

ただし数列{a_k}はフィボナッチ数列です。(m≠t)

以上を満たす数は、5•13+3=3•21+5=68だけでしょうか？

6.コメント

100までの自然数について考えようとしていたので、フィボナッチ数は144までしか確認していません。もしかしたら、3章で示したような数が実は、大きなフィボナッチ数でうまくいき、2章に書けるかもしれません。

また、何かしらの制限を与えることで、一意性を与えることができるかもしれませんね。