トロコイドのθ不使用表示

0.参考文献

[1]

https://twitter.com/mathproblems314/status/1440310834358411272

1.問題[1]

トロコイドx=a(θ-ksinθ), y=a(1-kcosθ)は、θを消去してxとyだけの式に直せるか。(a,kは実数定数)

2.解法

y=a(1-kcosθ)より、θ=arccos{(1-y/a)/k}

これを代入して、

x=a(arccos{(1-y/a)/k}-ksqrt(1-{(1-y/a)/k}^2))

ただし、sin(arccos(t))=sqrt(1-t^2)を用いた。

ちなみに、arccosAは定義域が定まっているので注意すること。