トリボナッチ数列の三角関数を用いた漸化式

0.参考文献

[1]https://manabitimes.jp/math/578

tangentの美しい関係式　高校数学の美しい物語

1.tangentの美しい関係式[1]

参考文献[1]によれば、以下の関係式が成り立ちます。

すなわち、全要素の和と全要素の積は等しくなると言う関係式です。

2.トリボナッチ数列

以下のように変数をうまく調整します。

以上から、次のように、tangentを用いた漸化式が成立します。

ここで、両辺をsinとcosを使って通分すると、以下のようになります。

左辺について展開してsinの加法定理を用いると、次のようになります。

ここで、トリボナッチ数列なので以下の点に気づきます。(これだけで、トリボナッチ数列の漸化式となりますね。)

以上から、特にトリボナッチ数列において、以下の数式が成立します。