ある連分数に対する考察

0.参考文献

[1]https://twitter.com/kyokuryo101/status/1366570558972813314

[2]https://ja.wikipedia.org/wiki/ネイピア数の表現

1.問題[1]

このような連分数は無理数か。さらに、閉じた式で表せるだろうか？

2.漸化式表示

次の方法で漸化式表示できます。

3.逆数

漸化式で現れたような形の式は、任意の実数xに対して、次の逆数をとります。

4.単調増加関数

x_nは、nが増加するとともに増加します。

5.近似解

今回知りたい値はx_1です。x_1を、x_kの関数にして、kをなるべく大きくすることで近似解を得たい。今回はk=5までを考えました。

6.無理数であることの説明

5章では、小さな正数を無視していたが、そうしなければ、誤差εが当然発生します。例えば、1/(x_4+1)~0とした時、x_1=11/8という解を得ました。5章の解とは3/152だけ異なります。x_nは無限に大きくなるが、その過程で誤差εは0に近づきはするが正数であり続けます。つまり、小数点以下無限桁になるので、無理数であることがわかります。

7.閉じた式で表せるかどうか？

5章の最後の式の前半に注目すると、面白いことに気づきます。1/1, 1/2, 1/3, 1/4,...と続いているのです！そして、無視したx_5以下についても同様に考えると、次のように表せます。