ある連分数に対する考察
- S Y
- 2021年9月23日
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更新日：2021年9月23日
0.参考文献
1.問題[1]
このような連分数は無理数か。さらに、閉じた式で表せるだろうか？
2.漸化式表示
次の方法で漸化式表示できます。
3.逆数
漸化式で現れたような形の式は、任意の実数xに対して、次の逆数をとります。
4.単調増加関数
x_nは、nが増加するとともに増加します。
5.近似解
今回知りたい値はx_1です。x_1を、x_kの関数にして、kをなるべく大きくすることで近似解を得たい。今回はk=5までを考えました。
6.無理数であることの説明
5章では、小さな正数を無視していたが、そうしなければ、誤差εが当然発生します。例えば、1/(x_4+1)~0とした時、x_1=11/8という解を得ました。5章の解とは3/152だけ異なります。x_nは無限に大きくなるが、その過程で誤差εは0に近づきはするが正数であり続けます。つまり、小数点以下無限桁になるので、無理数であることがわかります。
7.閉じた式で表せるかどうか？
5章の最後の式の前半に注目すると、面白いことに気づきます。1/1, 1/2, 1/3, 1/4,...と続いているのです！そして、無視したx_5以下についても同様に考えると、次のように表せます。
これを変形すると、
ここで、
これを代入して、
ちなみに、
8.超越性
ネイピア数(オイラー数)で表せたので、x_1は超越数です。
9.感想[2]
参考文献[2]のIII(II)って間違いなのでは？
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