n番目のフィボナッチ数f(n)を素数の個数の下限とする区間の取り方について

0. 参考文献

[1]https://youtu.be/YNmRhCNvBbg　ルジャンドル予想　予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」

1. ルジャンドル予想の復習

参考文献[1]で詳しく説明されております。ぜひご覧ください。予想は次の通りです。

「任意の自然数nに対して、区間[n^2,(n+1)^2]を取れば、その区間に少なくとも1つの素数が含まれるだろう。」

この予想は未解決問題となっております。以前、考察してみましたが、あの程度しか私にもわかりません。今のところは。

2. フィボナッチ数について

フィボナッチ数は定義から、

f(n+2)=f(n+1)+f(n)

と表せます。

ここで、区間[f(n+1)^2, (f(n+1)+1)^2]には、ルジャンドル予想が正しければ、少なくとも1つの素数が含まれるそうです。

同様に、区間[(f(n+1)+1)^2, (f(n+1)+2)^2]、[(f(n+1)+2)^2, (f(n+1)+3)^2]、[(f(n+1)+3)^2, (f(n+1)+4)^2]…にもそれぞれ、少なくとも1つの素数が含まれるそうです。

以上を続けると、やがて次の区間を得ます。

[(f(n+1)+f(n)-1)^2, (f(n+1)+f(n))^2]

これらの区間をまとめると、以下の区間を得ます。

[f(n+1)^2, f(n+2)^2]

ここまでに、素数は少なくともf(n)個得られました。