ABC予想に対する考察
- S Y
- 2022年4月29日
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0.参考文献
1.ABC予想とは？[1][2]
主張
互いに素な自然数(a,b)に対して
a+b=c
を与えた時、
d=rad(abc)
に対して任意の正数εが存在して
c>d^(1+ε)
を満たす組(a,b,c)は高々有限個しか存在しないだろう。
もっと簡潔に表すと、次のようになります。
(a+b)/rad(a+b)<rad(ab)
もし、根基を与える演算rad()の性質をこの関係式から説明するなら、次のようになります。
「掛け算に比べて足し算は、これを実行することで、素因数の情報が、種類と量のいずれも大きく欠落する。」
ここで種類とは、素因数の数のこと、量とは、素因数分解した時の各素数について指数の値のを意味しています。
2.ABC予想の型
2.1 弱いABC予想
εが十分小さいものです。この時、
c>d^(1+ε)
を満たす組(a,b,c)は「高々有限個」しか存在しないだろうとされます。
2.2 強いABC予想
ε>=1としたものです。この時、
c>d^(1+ε)
を満たす組(a,b,c)は一つも存在しないだろうとされています。
3.証明者
ABC予想において2種類存在することを確認しました。そしてこの2つを証明したのが、京大の望月新一博士です。
4. 双対数を用いた考察
4.1 双対数の数式
以前の記事で、双対数について
exp(ε)=1+ε
であることを示しました。(実際、テイラー展開や微分の定義式から容易に解ります。)
ここでεは2乗すれば0とみなせる程度に十分小さい数としています。
4.2 弱いABC予想の双対数を用いた表現
予想によれば、これを満たすのは「高々有限個」しかないようです。
4.3 強いABC予想の双対数を用いた表現
予想によれば、これを満たすのは存在しない(m>=3)そうです。
また、ぎりぎり存在しそうなのが、m=2の場合です。
そして、m=1の時、ありえるだろうと考えられます。
4.4 弱いABC予想と強いABC予想が同時に成り立つ/ 一方のみ成り立つ/ いずれも成り立たない条件(m=1とする)
(1)同時に成り立たない
次の連立方程式を考えられます。
これは、一般に無数に存在することが知られています。
(2)弱いABC予想のみが成り立たない場合(高々有限個、に含まれる組(a,b,c)に対して。)
次の連立方程式を考えられます。
これは、ε>0に矛盾します。
(3)強いABC予想のみが成り立たない場合
次の連立方程式を考えられます。
(4)いずれも成り立つ場合
4.5 考察
4.4(2)について、m=1を考えていたので、明らかに矛盾が生じます。他の結果は、ちゃんと弱いABC予想が強いABC予想に含まれていることを確認できました。
5.まとめ
双対数を用いてABC予想を考察することができました。
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