2種サイクルの積を用いた考察

0.参考文献

[1] https://ja.wikipedia.org/wiki/モンゴメリー・オドリズコ予想

[2] https://ja.wikipedia.org/wiki/トーラス

1.モンゴメリー・オドリズコ予想[1]

リーマンゼータ関数の非自明な零点の間隔の分布は、GUEに従うランダム行列の固有値の間隔の分布と統計的に同一であるとする予想です。

以下の結果が得られています。

「リーマンのゼータ関数の零点の正規化された間隔は、ランダム行列理論を使った重い原子核のエネルギー準位の間隔と同様に、対相関関数が次の式で表せる。」

今回は、ある種の2つのサイクルに対して、面積の比率が以上の式で表せることから、モンゴメリー・オドリズコ予想が何らかのサイクルの積であると予想します。

2.トーラス[2]

xyz空間において、トーラスは以下の式で表せます。

ここに、Rは大半径、rは小半径です。

特に、R=rであるとき、真ん中の空洞をなくすことができます。本来の定義では、トーラスはR>rで定義されていますので、トーラスとは言えませんが。

そこで、次のように式を変換できます。

以下の断面図を考えます。

上の場合および下の場合の表面積について、考えます。ただし、ここでいう表面積とは、ある角度θからdθだけ回転した弧が作る回転体の表面積です。上をS_1, 下をS_2とします。

以上から、次の式が成立します。

すなわち、次の結果を得ます。

3.サイクル論

dθが、ある意味でサイクルの一片であるとすれば、サイクルの積の次元の比率が、予想に現れる式と一致していると予想できます。