2^nをもとに、パスカルの三角形っぽいものを考える

1.問題

次の問題を考えます。

以下の有限積を展開せよn>=0

実際にnを動かして考えます。

xの次数が大きいものから、係数を並べることにより、パスカルの三角形と同様なものを作ることができます。

これは、きっとパスカルの三角形と同様な性質を持つこととなるでしょう。

2.性質(予想)

A

当然、左から2番目の数は、2^n-1で表せます。

これが特に素数である時、両端(1と2^m型の数)を除いた数は、これで割り切れることがわかります。正確には、そうであろうと推測します。(証明はできていません。)

これは、リュカテストを用いることで、証明できるだろうと推測できます。

B

横で足し合わせることを考えます。

パスカルの三角形では、2^nが得られました。

今回踏まえて計算すると、やはりよくわからない値が出てきます。

まず、数がとても大きいので、今回2^nを考えてましたから、底を2とする対数を用いて表しました。

今度は、これらが下に行くに従い、2倍程度以下であることを踏まえて、比を調べてみます。すると、どうやら1.3程度に収束しそうであることがわかりました。

C

パスカルの三角形を用いて、フィボナッチ数列が与えられるのと同じ方法で、どのような数列が得られるかを考えます。

真ん中には1,2,4,10,30,...と計算結果を得ます。

これらを素因数分解した時の、素数を羅列したものが、その隣にあります。

また、これらを2を底とする対数をとり、その比を考えます。

こっちも、どうやらある数に収束しそうであることがわかります。