((-1のn乗根)+ε)^lに関する考察

1.数値実験A

次の計算を眺めてみます。

眺めていると4つ全部を足したくなりますね。

この結果から、任意の自然数kに対して結果はkに依存しないことがわかります。

2.数値実験B

同様に次の計算を眺めてみます。

眺めていると6つ全部を足したくなりますね。

3.数値実験の一般化

次のように一般化できそうなことがわかります。

4.一般化(n=1)の条件確認

-1の1乗根は-1ですから、代入して整理していくと、(左辺)=(右辺)=-εとなることがわかります。

5.n→∞の極限をとる

3章の式について、両辺をn^2で割ってみます。さらに、n→∞の極限を取ります。

区分求積法を右辺に適用すると、次のようになります。

これを左辺とつなげ、t=2nを用いて整理すれば、次の結果を得ます。

左辺のl乗を展開し、係数を比較すれば次の結果を得ます。

この結果から、例えば次の関係式を得ます。

実際、区分求積法から証明が可能です。