1:2:sqrt(5)に近似的に相似なピタゴラス数による直角三角形の描画方法に関する考察及び、フェルマーの最終定理についての考察

0.参考文献

[1]https://manabitimes.jp/math/661

ピタゴラス数の求め方とその証明(特に、原始ピタゴラス数の求め方が記されている)

1.原始ピタゴラス数[1]

ピタゴラス数はある意味で無限に存在します。例えば、一つのピタゴラス数を見つけた場合、各辺について自然数倍させることでいつでも新たなピタゴラス数を見つけることができるからです。

では、原始ピタゴラス数についてはどうかというと、これもまた、無限に存在することができ、以下のパラメータ表示をすることが可能であることが知られています。

mとnを自然数からうまくとってくることで、無限に原始ピタゴラス数を作り出すことができます。

ちなみにこのことは、cosθとsinθがいずれも有理数となるθが無数に存在することを意味しています。

2.原始ピタゴラス数のパラメータm,nを隣り合うフィボナッチ数にしたらどうなるか？

次に、原始ピタゴラス数のパラメータm,nを隣り合うフィボナッチ数にしたらどうなるのかを考えていきます。

この時、3辺に対して次の関係にあることがわかります。

特にtanθ=b/aとした時、次の関係にあります。

よって、nが十分大きい時、次の等式が成り立ちます。

これは、1:2:sqrt(5)の三角形となることを意味しています。

3.sqrt(5)の近似表現

nが十分大きい時、tanθ=2となることがわかりました。これを使うと、cosθ=sqrt(5)となることがわかりますので、次の結果が正しいことがわかります。

4.考察

今回の結果は、a^2+b^2=c^2を満たす自然数が存在するためうまくできましたが、フェルマーの最終定理によると、a^m+b^m=c^m, m≧3を満たす自然数は存在しません。このことを、Nボナッチ数、Nボナッチ数列の特性方程式の解、及び三角形の描画不可能性を用いて別証することができるかもしれません。